Unha ollada preliminar ao Cálculo Numérico (previo)

Os científicos e enxeñeiros manexan modelos matemáticos para describir a realidade. Por exemplo, para estudar a temperatura dun corpo usan a ecuación da calor:

\displaystyle\rho c\frac{\partial T}{\partial t}-\mathrm{div}(k\,\mathrm{grad} T) = f

A solución destes modelos matemáticos pódese aproximar mediante métodos numéricos. Así, pódese usar o método dos “elementos finitos” para resolver aproximadamente a ecuación anterior, no que é necesario seguir unha serie de pasos:

  • Definición do dominio de cálculo (deseño asistido por ordenador).
  • Creación da malla de elementos finitos (xeometría computacional);
  • Plantexamento do método dos “elementos finitos” (resolución numérica de ecuacións diferenciais);
  • Construcción dos coeficientes do sistema (integración numérica);
  • Resolución dun sistema de ecuaciones lineares de alta dimensión (solución de grandes sistemas de ecuacións lineares)
  • Visualización da solución (interpolación polinomial).

Nesta materia veranse algúns deses métodos, como a interpolación polinomial, en casos sinxelos. Outros, como a integración numérica, serán estudados na materia de Cálculo Numérico.

Como exemplo, na seguinte figura móstrase o resultado de aproximar a solución da ecuación da calor nun motor eléctrico:

Recalcamos que o resultado obtido só é unha aproximación da solución exacta do modelo. Hai varias causas para explicar este feito:

  • Erros nos datos: cométense imprecisións tanto na xeometría (o dominio xerado computacionalmente segue curvas suaves que poden non existir no orixinal), coma nas magnitudes físicas (as condicións de medida nun laboratorio poden diferir das da planta de producción).
  • Erros do metodo numérico: a bondade da solución dun método numérico soe depender dun ou varios parámetros (no caso do método dos “elementos finitos”, depende do tamaño dos elementos da malla). Para controlar este erro, estúdanse cotas de erro, que garanten que o erro máximo cometido neste apartado está acotado por un valor dado.
  • Erros computacionais: as operacións realizadas  adoecen dun pequeno erro de redondeo debido a que os ordenadores usan números cunha cantidade fixa de cifras decimais. Para controlar este erro úsanse algoritmos estables, que garanten que os erros de redondeo non se amplifican nas distintas fases do método.

Os erros que estudaremos aquí son os dous últimos, xa que son os máis doados de analizar matemáticamente. Na entrada seguinte analizaremos como se gardan os números nun ordenador para entender mellor os erros computacionais.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Cálculo numérico. Ligazón permanente.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s