Os números reais

Entre os subconxuntos de números reais salientamos:

  • os números naturais, \displaystyle\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\ldots\};
  • os números enteiros, \displaystyle\mathbb{Z}=\{0,\pm 1,\pm2,\pm 3,\ldots\};
  • os números racionais, \displaystyle\mathbb{Q}, aqueles que poden expresarse como unha fracción de números enteiros. Entran nesta categoría os reais con expresión decimal finita ou periódica;
  • os números irracionais, aqueles que teñen expresión decimal non periódica.

Os números racionais cumpren a propiedade arquimediana ou de densidade, é dicir, entre cada dous racionais atópanse unha infinidade deles. Esta propiedade tamén a teñen os irracionais e, en xeral, os números reais.

Intervalos e contornos

Un intervalo é un subconxunto non baleiro de números reais que contén a tódolos números que están entre cada parella de números pertencentes a el (matemáticamente, é un conxunto convexo de \mathbb{R}). Podemos clasificalos segundo sexan abertos ou pechados, finitos ou infinitos:

Abertos Pechados
Finitos (a,b) [a,b]
Infinitos (-∞,a) e (b,+∞) (-∞,a] e [b,+∞)

Un contorno dun número x é calquer conxunto que conteña un intervalo aberto centrado no punto, (xr, x+r), con r>0. Por exemplo, [-1,2) é un contorno do cero, xa que conten algún intervalo aberto centrado en cero, por exemplo, o (-1,1). Porén, [0,2] non é un contorno do cero, xa que non contén ningún intervalo do tipo (-r,r). Un contorno de +∞ é calquer conxunto que conteña a un intervalo do tipo (b,+∞). Análogamente, un contorno de -∞ é calquer conxunto que conteña a un intervalo do tipo (-∞, a).

Fórmulas básicas de álxebra

Convén lembrar as seguintes regras de fraccións:

\displaystyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}; \qquad \frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}; \qquad \frac{a/b}{c/d}=\frac{ad}{bc}

As regras para potencias:

\displaystyle a^{n+m}=a^{n}a^{m}; \qquad (ab)^{n}=a^{n}b^{n}; \qquad (a^n)^m=a^{nm}

\displaystyle a^{1/n}=\sqrt[n]{a}; \qquad a^{-n}=\frac{1}{a^n}, se a≠0.

Para as regras para desigualdades, tomamos a, b e c reais. Se a<b, daquela:

a+c < b+c, para todo c;

a·c < b·c, se c>0;

b < –a;

1/b < 1/a, se a e b teñen o mesmo signo.

Moitas desigualdades implican o uso da función valor absoluto:

|x|=\begin{cases}x, & \text{se }x\geq 0,\\-x, & \text{se }x< 0.\end{cases}

Da definición do valor absoluto dedúcese que

\displaystyle |-a|=|a|;\qquad |a\cdot b|=|a|\cdot|b|;\qquad \left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|},

\displaystyle |a+b|\leq|a|+|b|;\qquad |a-b|\geq\left||a|-|b|\right|,

\displaystyle|x|<a\ \Leftrightarrow\ x>-a \text{ e } x<a\ \Leftrightarrow\ x\in (-\infty,a)\cap(-a,+\infty)\ \Leftrightarrow\ x\in (-a,a),

\displaystyle|x|>a\ \Leftrightarrow\ x<-a \text{ ou } x>a\ \Leftrightarrow\ x\in (-\infty,-a) \cup(a,+\infty)\ \Leftrightarrow\ x\in I\!\!R\backslash [-a, a].

Exercicio: Calcula os intervalos solución de |2x-3| ≤ 7.

|2x-3|\leq 7 \ \Leftrightarrow\ \left.\begin{cases} 2x-3\leq 7\ \Leftrightarrow\ x\leq 5\ \Leftrightarrow\ x\in (-\infty,5]\\ \text{e}\\ 2x-3\geq -7\ \Leftrightarrow\ x\geq -2\ \Leftrightarrow\ x\in [-2, +\infty) \end{cases}\right\}

\Leftrightarrow x\in(-\infty,5]\cap[-2,+\infty)\ \Leftrightarrow\ x\in[-2,5].

Exercicio: Calcula os intervalos solución de |2x-3| ≥ 7.

|2x-3|\geq 7 \ \Leftrightarrow\ \left.\begin{cases} 2x-3\geq 7\ \Leftrightarrow\ x\geq 5\ \Leftrightarrow\ x\in [5,+\infty)\\ \text{ou}\\ 2x-3\leq -7\ \Leftrightarrow\ x\leq -2\ \Leftrightarrow\ x\in (-\infty, -2] \end{cases}\right\}

\Leftrightarrow x\in(-\infty,-2]\cup[5,+\infty).

Nesta entrada podes consultar máis exercicios desta sección.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Números reais. Ligazón permanente.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s