Cónicas

Coñécense por cónicas ás curvas planas resultantes de intersecar un cono cun plano. Clasifícanse en elipses, parábolas e hipérbolas. A ecuación dunha cónica, en coordenadas cartesianas, é un polinomio en (x,y) de grao 2.

Por Drini (CC/SA-3.0).Por Drini (CC/SA-3.0).

A elipse e a circunferencia

A ecuación da elipse centrada no punto (x_0,y_0) e con semieixos (a,b) paralelos aos eixos coordenados é \displaystyle \left(\frac{x-x_0}a\right)^2+\left(\frac{y-y_0}b\right)^2=1.

No polinomio de grado 2 que define a elipse, os coeficientes dos monomios en x² e y² sempre teñen o mesmo signo. Cuando a=b=r, tense a ecuación da circunferencia centrada en (x_0,y_0) e radio r, \displaystyle\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2.

A ecuación paramétrica da elipse é \displaystyle \left(x_0+a\,\text{sen}(t),\ y_0+b\,\cos(t)\right),\ \ t\in[0,2\pi).

Exercicio: Determina o centro e o radio da circunferencia x²+5x+y²=0.
Sabemos que \displaystyle x^2+5x=(x+5/2)^2-25/4, polo tanto, \displaystyle x^2+5x+y^2 = (x+5/2)^2-25/4+y^2=0, é dicir, \displaystyle (x+5/2)^2+y^2=(5/2)^2.
Este proceso chámase “completar cadrados”.

A parábola

A ecuación da parábola de eixo vertical e vértice (x_0,y_0) é y-y_0=a(x-x_0)^2. A orientación da parábola depende so signo de a. A ecuación da parábola de eixo horizontal é a mesma, cambiando os papeis de x e y.

No polinomio de grado 2 que define a parábola, un dos coeficientes dos monomios en x² e y² é cero.

A hipérbola

A ecuación da hipérbola centrada no punto (x_0,y_0) con semieixos (a,b), paralelos aos eixos coordenados, é \displaystyle\left(\frac{x-x_0}a\right)^2-\left(\frac{y-y_0}b\right)^2=1.

Obsérvese que na hipérbola os coeficientes dos monomios en x² e y² sempre teñen signo distinto, mentres que na elipse teñen o mesmo signo.

Exercicios de cónicas.

Veremos na seguinte entrada as propiedades doutras funcións.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Funcións. Ligazón permanente.

4 Responses to Cónicas

  1. Christian Toimil di:

    Fran, acabo de atopar unha cousas que creo que está mal, creo que onde pon que x2+5x=(x-5/2)2 -25, este 25 non sería 25/4? Outra duda que teño é como se buscan os semieixos da elipse e que son porque tal e como pon a páxina semellan se un vector ou un punto e deberían ser dous vectores ou dúas rectas diferentes. Grazas

    • franpena di:

      Grazas, correxido. Sobre o segundo, os semieixos son os números que aparecen dividindo a x-x_0 e y-y_0, cando no segundo membro só queda o valor 1. No exercicio da circunferencia que correxiches, os semieixos son, os dous, 5/2. Nunha elipse que non fose unha circunferencia, serían distintos entre si.

      • Christian Toimil Arango di:

        Vale creo que xa me quedou claro grazas, por certo, na ecuación da hipérbola ten que estar o negativo antes da “y” ou pode estar antes da “x” se a “y” ,e positiva?

      • franpena di:

        Os signos dos termos en x e y sempre se axustan para que no segundo membro apareza +1. No caso da hipérbola, eses signos serán opostos; dá igual que o menos apareza no termo en x ou en y.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s