As funcións trigonométricas

Dado un ángulo en radiáns, a función trigonométrica seno devolve a razón entre o cateto oposto ao ángulo e a hipotenusa dun triángulo rectángulo. O coseno devolve a razón entre o cateto adxacente ao ángulo e a hipotenusa. Os comandos sin e cos permiten calcular estas funcións en Matlab e Octave.

Se pintamos unha circunferencia unitaria (de radio r=1),  as coordenadas cartesianas de calquera punto da circunferencia son (cos(θ), sen(θ)), sendo θ o ángulo que forma o radio vector co eixo OX.

Gaussianos (CC BY-NC-SA 2.5 ES) Gaussianos (CC BY-NC-SA 2.5 ES)

O dominio do seno e coseno é \mathbb{R} e a imaxe é [-1, 1]. A función seno é crecente para ángulos no primeiro e cuarto cuadrante, e decrecente para o resto. A función coseno é crecente para ángulos no terceiro e cuarto cuadrante e decrecente no resto.

A función seno é impar, eso é, sen() = -sen(θ). A función coseno é par, eso é, cos() = cos(θ). Outras funcións trigonométricas son:

  • a secante, sec(θ) = 1/cos(θ). Está definida cando o coseno non se anula, é dicir, se \theta\neq\pi/2+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, e a imaxe é \mathbb{R}\backslash(-1,1). É unha función par.
  • a cosecante, csc(θ) = 1/sen(θ). Está definida cando o seno non se anula, é dicir, se \theta\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, e a imaxe é \mathbb{R}\backslash(-1,1). É unha función impar.
  • a tanxente, tan(θ) = sen(θ)/cos(θ). Definida se \theta\neq\pi/2+k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, e a imaxe é \mathbb{R}. É sempre crecente e impar.
  • a cotanxente, cot(θ) = cos(θ)/sen(θ). Definida se \theta\neq k\pi,\ k\in\mathbb{Z}, e a imaxe é \mathbb{R}. É sempre decrecente e impar.

As funcións de Matlab e Octave para as funcións anteriores son sec, csc, tan e cot. As inversas das funcións anteriores denomínanse co prefixo arco e a función correspondente. O nome das funcións trigonométricas inversas en Matlab e Octave créase poñendo un a antes do nome da función correspondente.

Identidades trigonométricas

Vexamos agora algunhas identidades trigonométricas. Indicaremos en negrita as máis salientables. Como a ecuación da circunferencia unitaria é x²+y²=1 e nesa circunferencia (x,y) = (sen(θ),cos(θ)), daquela

sen(θ)² + cos(θ)² = 1

Da identidade anterior e da definición das funcións trigonométricas pódese deducir que

sec(θ)² = 1+tan(θ
csc(θ)² = 1+cot(θ

As fórmulas do ángulo suma verifícanse para todo valor de A e B:

cos(A+B) = cos(Acos(B) – sen(A)·sen(B)
sen(A+B) = sen(A)·cos(B) + cos(A)·sen(B)

Tomando A=B nas expresións anteriores, obtéñense as fórmulas do ángulo dobre:

cos(2·A) = cos(Asen(A)²
sen(2·A) = 2·sen(A)·cos(A)

Para obter as fórmulas do ángulo metade, basta sumar e restar a identidade sen(A)² + cos(A)² = 1 e a fórmula do coseno do ángulo dobre:

cos(A)² = (1+cos(2·A))/2
sen(A)² =(1-cos(2·A))/2

Só para algúns ángulos do primeiro cuadrante podemos expresar o valor das razóns trigonométricas:

30º 45º 60º 90º
0 rad π/6 rad π/4 rad π/3 rad π/2 rad
sen 0 1/2 √2/2 √3/2 1
cos 1 √3/2 √2/2 1/2 0
tan 0 1/√3 1 √3

Un ángulo A do segundo cuadrante pódese expresar como A=B+π/2, onde B está no primeiro cuadrante. Polas fórmulas do ángulo suma,

sen(A) = sen(B+π/2) = cos(B)
cos(A) = cos(B+π/2) = -sen(B)

Deste xeito, podemos construír a seguinte táboa para algúns ángulos do segundo cuadrante:

120º 135º 150º 180º
2π/3 rad 3π/4 rad 5π/6 rad π rad
sen √3/2 √2/2 1/2 0
cos -1/2 -√2/2 -√3/2 -1
tan -√3 -1 -1/√3 0

Do mesmo xeito, as razóns trigonométricas dun ángulo A do terceiro cuadrante pódense expresar en función dun ángulo B do primeiro cuadrante,

sen(A) = sen(B+π) = -sen(B)
cos(A) = cos(B+π) = -cos(B)

As razóns trigonométricas para algúns ángulos do terceiro cuadrante son:

210º 225º 240º 270º
7π/6 rad 5π/4 rad 4π/3 rad 3π/2 rad
sen -1/2 -√2/2 -√3/2 -1
cos -√3/2 -√2/2 -1/2 0
tan 1/√3 1 √3

E as razóns trigonométricas dun ángulo A do cuarto cuadrante pódense expresar en función dun ángulo B do primeiro cuadrante,

sen(A) = sen(2π-B) = -sen(B)
cos(A) = cos(2π-B) = cos(B)

As razóns trigonométricas para algúns ángulos do cuarto cuadrante son:

300º 315º 330º 360º
5π/3 rad 7π/4 rad 11π/6 rad 2π rad
sen -√3/2 -√2/2 -1/2 0
cos 1/2 √2/2 √3/2 1
tan -√3 -1 -1/√3 0

As fórmulas anteriores pódense combinar para calcular razóns trigonométricas de ángulos aínda máis pequenos. Por exemplo, o ángulo 7,5º= π/24 rad pódese escribir como 7,5º=(45º-30º)/2, é dicir, π/24 = (π/4-π/6)/2. Pola fórmula do ángulo suma,

\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{12}\right)=\cos\left(\frac{\pi}4-\frac{\pi}6\right) = \frac{\sqrt{2}}2\cdot\frac{\sqrt{3}}2 + \frac{\sqrt{2}}2\cdot\frac 12 = \frac{\sqrt{2}}4(\sqrt{3}+1).

Agora, pola fórmula do ángulo metade,

\displaystyle \text{sen}\left(\frac{\pi}{24}\right)^2=\frac{1-\cos(\frac{\pi}{12})}{2}=\frac12-\frac{\sqrt{2}}8(\sqrt{3}+1).

Finalmente, o \displaystyle \text{sen}\left(\frac{\pi}{24}\right) é a raíz cadrada do resultado anterior.

Exercicios de trigonometría.

(CC BY-NC-SA 2.5 ES)

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Funcións. Ligazón permanente.

14 Responses to As funcións trigonométricas

  1. Estudante di:

    as tanxentes dos ángulos do cuarto cuadrante non deberían ser negativas?

  2. Estudante di:

    No exercicio que puxestes ó final, a fórmula que estás calculando é a do ángulo metade, na cal o sen(pi/24) debería estar elevado ó cadrado non? é dicir, a solución é a raíz cadrada da que está posta?

  3. Diego Baños di:

    cos(A)² = (1+cos(2·A))/2
    sen(A)² =(1-cos(2·A))/2

    Estas fómulas non están ben. Deberían ser cos(A) = … e sen(A) = … sen o cadrado, como se ve no último exemplo, non?

  4. David Alonso di:

    Os cosenos e as tanxentes do segundo cuadrante non deberían ser negativas?

  5. Alumno di:

    E as razóns trigonométricas dun ángulo A do cuarto cuadrante pódense expresar en función dun ángulo B do primeiro cuadrante,
    sen(A) = sen(2π-B) = -sen(B) ¿Non sería -cos(B)?
    cos(A) = cos(2π-B) = cos(B) ¿E aquí sen(B)?

  6. Creo que no último exercicio de exemplo terías que poñer que a solución final é a raiz do que xa tes, tal e como está agora pode ser confuso.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s