Identificación de funcións (previo)

Unha función é unha regra que asigna a cada elemento do dominio, un único elemento da imaxe. A gráfica é a representación dos puntos con abscisas no dominio e con ordenadas as imaxes correspondentes. Matemáticamente,
$\text{Dom}(f) = \{x\in\mathbb{R}: f(x) \text{ est\'a definido}\},$
$\text{Im}(f) =\{y\in\mathbb{R}: y = f(x), \text{ para alg\'un } x \in \text{Dom}(f)\},$
$\text{Gr}(f) =\{(x,f(x))\in\mathbb{R}^2: x \in \text{Dom}(f)\}.$

Propiedades das rectas

A ecuación da recta xa foi estudada na entrada anterior. A recta y = r(x), se pasa pola orixe, é unha función linear. Por tanto, verifica

r(x+y) = r(x)+r(y), para calquer x e y,
r(a·x) = a·r(x) para calquer a e x.

As funcións lineares son as únicas que teñen estas dúas propiedades. É incorrecto escribir que 1/(x+y) = 1/x+1/y, ou que sen(2·x) = 2·sen(x).

As rectas que non pasan pola orixe chámanse afíns.

Propiedades das potencias naturais

As propiedades de $y = x^n,\ n\in\mathbb{N}$ depende de se n é par ou impar.
O dominio destas funcións é $\mathbb{R}$ . A imaxe das potencias pares é [0,+∞) e a das potencias impares é $\mathbb{R}$ . As potencias pares son crecentes se x é positivo, mentras que as potencias impares son crecentes en todo o dominio.

Os polinomios só son sumas de potencias naturais multiplicadas por constantes, polo que o dominio é $\mathbb{R}$ . As funcións racionais son o cociente entre dous polinomios. Estarán definidas alí onde o denominador non se anule.

Propiedades das potencias negativas

Coma antes, depende da paridade do expoñente.

O dominio destas funcións é $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ . A imaxe das potencias pares é (0,+∞) e a das potencias impares é $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ . As potencias pares, para x positivo, e as potencias impares, en todo o dominio, son decrecentes.

Propiedades das potencias fraccionarias

As propiedades dependen de se o expoñente é maior ou menor que un, e da paridade do denominador da fracción irreducible do expoñente.

$potencias_fraccionarias$ O dominio das potencias con denominador par é [0,+∞), e con denominador impar é $\mathbb{R}$ . A imaxe coincide co dominio nos dous casos. Estas potencias son crecentes para x positivos e en toda a recta cando o expoñente ten numerador e denominador impar. Ademais, a función é convexa se o expoñente é maior que un, e cóncava se é menor que 1.

O cálculo en Matlab e Octave de potencias con denominador impar é delicada para x negativo, pois o valor obtido pode ser complexo. Por exemplo, power(-1,1/3) devolve 0.5 + 0.8660i. Para obter a raíz real, debemos ter en conta que $\displaystyle x^{1/3} =-\left((-x)^{1/3}\right)$ . Agora, como –x é positivo, obteremos un valor real.

O caracter crecente ou decrecente dunha función pode utilizarse para acotar o valor difícil de calcular. Por exemplo, podemos acotar o valor de √47: como 36<47<49 e a raíz cadrada é crecente, podemos dicir que √36<√47<√49. Por tanto, 6<√47<7 (en efecto, √47≈6.855).

Propiedades das exponenciais

Son funcións da forma $y=a^x$ , onde a base a é positiva. Tomando como base o número e, obtense a función que a muido se coñece por exponencial (exp en Matlab e Octave).

Independentemente da base, o dominio é $\mathbb{R}$ e a imaxe (0,+∞), e son crecentes. Unha función exponencial medra máis rápidamente que calquer polinomio, cando x tende a infinito.

A inversa de $y = a^x$ é o logaritmo de base a. A inversa de $y=e^x$ é o logaritmo natural ou neperiano. En Matlab e Octave temos as funcións log2, log e log10 para os logaritmos de base, 2, e e 10.

O dominio é (0,+∞), a imaxe é $\mathbb{R}$ e son crecentes en todo o dominio.

Ao ser inversas, a gráfica do logaritmo e da exponencial son simétricas respecto da recta y=x.

Exercicios de funcións.

Curvas no plano

Unha curva plana é unha regra para determinar un conxunto de puntos no plano. A diferenza dunha función, pode asignarse máis dunha imaxe por punto. Por tanto, unha curva pode que non sexa expresable como a gráfica dunha función. Por exemplo, a circunferencia centrada na orixe de radio un, x²+y²=1, é unha curva deste tipo. Para debuxala podemos

intentar expresala como unión de gráficas, despexando unha variable en función doutra; depexando, y = ±√(1-x²) indícanos que se requiren dúas gráficas para representar a curva;
atopar a forma paramétrica da curva, que neste caso é (cos(t), sen(t)), 0<t<2π;
considerala como a curva de nivel 1 da función z=x²+y², e pintala co comando contour de Matlab/Octave.

2 Responses to Identificación de funcións (previo)

David Alonso di:

24/12/2012 ás 20:56

Nas propiedades das potencias negativas, na imaxe das potencias pares, non sería (0,+∞)? É dicir, co 0 aberto.

Resposta
- franpena di:
  
  26/12/2012 ás 10:56
  
  Grazas, correxido.
  
  Resposta