Polinomios de Lagrange

Nesta entrada imos preguntarnos como aproximar unha función f da que só coñecemos certa información (o seu valor, o da súa derivada,…) nunhas abscisas, x_1,\ x_2,\ldots, x_n, denominadas nodos de interpolación. Fálase de interpolación da función f nos nodos de interpolación, cando se atopa outra función p que comparte con f a información coñecida nos nodos.

A interpolación dise polinomial cando se esixe que p sexa un polinomio. Chámase global se p ten unha única expresión para todo o dominio de interpolación; pola contra, dise que é local ou a cachos cando a expresión para p cambia dependendo da abscisa. Veremos que, debido ao fenómeno de Runge, a interpolación a cachos é máis axeitada cando o número de nodos de interpolación é alto.

Por último, debemos distinguir entre interpolación e o axuste. O segundo dáse cando a información de f e p é semellante, pero non igual.

Interpolación polinomial do valor da función

Supoñamos de aquí en diante que temos os nodos de interpolación \displaystyle \left\{x_i\right\}_{i=1}^n, distintos dous a dous, e sabemos que o valor da función f nos nodos é \displaystyle \left\{y_i\right\}_{i=1}^n. Diremos que o polinomio \displaystyle p(x) = a_0+a_1x+\ldots+a_mx_m interpola a f nos nodos de interpolación se

\displaystyle p(x_i)=y_i,\ i=1,\ldots,n.

O sistema de ecuacións lineares que resolve este problema de interpolación esta dado por:

\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_0 + a_1 x_1 + a_2 x_1^2 + \ldots + a_m x_1^m = y_1 \\ \ldots\\ a_0 + a_1 x_n + a_2 x_n^2 + \ldots + a_m x_n^m = y_n \end{array} \right.

Dado que temos m+1 parámetros independentes, a_0, …, a_m, e n condicións sobre p, é razoable considerar m=n-1. Nas hipóteses anteriores, é doado ver que existe un único polinomio de grao n-1 que interpola a f, xa que o determinante da matriz do sistema é

\displaystyle \prod_{1\leq j<i\leq n}(x_i-x_j),

que é non nulo xa que os nodos de interpolación son distintos.

Cálculo do polinomio de interpolación

Hai varias métodos para calcular o polinomio de interpolación. Un dos máis sinxelos consiste en calcular previamente unha base do espazo de polinomios. Esta base, composta polos chamados polinomios de Lagrange, serve para calcular finalmente o polinomio de interpolación.

O i-ésimo polinomio de Lagrange para os nodos \displaystyle \left\{x_j\right\}_{j=1}^n determínase como o único polinomio de grao n-1 que verifica que

\displaystyle l_i(x_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}1, & \text{ se }i=j,\\ 0, & \text{ se }i\neq j,\end{cases}

para i,j = 1, …, n. O símbolo \delta_{ij} coñécese co nome de “Delta de Kronecker”. Obsérvese que o valor de f non inflúe na definición destes polinomios. A expresión explícita destes polinomios é

\displaystyle l_i(x) = \prod_{\begin{array}{c}j=1\\j\neq i\end{array}}^n\frac{x-x_j}{x_i-x_j},\ i=1,\ldots,n.

Os polinomios \{l_1(x),\ldots,l_n(x)\} forman unha base dos polinomios de grao menor ou igual que n-1. Finalmente, pódese ver que o polinomio de interpolación dos puntos \displaystyle \left\{(x_i,y_i)\right\}_{i=1}^n é

\displaystyle p(x)=\sum_{i=1}^ny_i\,l_i(x).

Exercicio: Calcula a parábola que interpola a y=\text{e}^x nos nodos 0, 1 e 2.

Na entrada seguinte veremos como se pode limitar a distancia entre a función e o polinomio de interpolación.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Cálculo numérico, Interpolación polinomial. Ligazón permanente.

4 Responses to Polinomios de Lagrange

  1. Estudante di:

    Habería algunha maneira de saber o resultado que debería dar o exercicio proposto?
    “Exercicio: Calcula a parábola que interpola a y=\text{e}^x nos nodos 0, 1 e 2.”

  2. Fran Pena di:

    Aparte de calculalo “a man” usando os polinomios de Lagrange, podes calcular os coeficientes da parábola en Matlab/Octave con: polyfit(0:2, exp(0:2), 2)

  3. Estudante1 di:

    1.Cando xa tes o polinomio calculado, terías que sustituír x polos nodos? Ou xa estaría o exercicio.
    2.Para que e como se fai a comprobación de que é un elemento da base de lagrange?

  4. franpena di:

    1. Nos nodos de interpolación, p(x_i) = y_i,\ i=1,\ldots,n, logo esa é a forma de comprobar que o polinomio está ben calculado.

    2. Nos nodos de interpolación, os elementos da base compórtanse como a Delta de Kronecker; esa é a forma de ver que un elemento da base está ben calculado.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s