Interpolación a cachos (previo)

Na entrada anterior vimos que o polinomio de interpolación pode chegar a diferenciarse moito da función cando o seu grao aumenta, debido ao fenómeno de Runge. Unha estratexia para evitar esta situación consiste en construir un polinomio de interpolación de grao baixo en cada intervalo [x_i, x_{i+1}]. Así, a expresión do polinomio en \displaystyle [a,b]=\left[\min_{1\leq i\leq n}\{x_i\}, \max_{1\leq i\leq n}\{x_i\}\right] dependerá do intervalo na que se avalíe.

O caso máis sinxelo é interpolar cada dous nodos cun polinomio de grao 1 (recta):

\displaystyle p(x) = f(x_i)\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}+f(x_{i+1})\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i},\text{ se }x_i\leq x\leq x_{i+1}.

O erro no intervalo [x_i, x_{i+1}] queda

\displaystyle f(x) -p(x) =\frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})}2f''(c_x),\text{ con }c_x\in[x_i,x_{i+1}].

Se tomamos todos os nodos igualmente espaciados por unha distancia h, daquela

\displaystyle \frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})}2 \leq \frac{h^2}8,

xa que o máximo de t(ht) para 0≤th é h²/2. Se, ademáis, o valor absoluto da derivada segunda de f en [a,b] está limitada por M, podemos dicir que

\displaystyle |f(x) -p(x)| \leq \frac{M}{8}h^2 = O(h^2).

Esto significa que, cando o número de nodos aumenta, o erro non só non aumenta, se non que dimimúe cuadráticamente, evitándose así un problema coma o do fenómeno de Runge.

A deficiencia que presenta un polinomio de interpolación por rectas é que, en xeral, non é derivable nos nodos de interpolación. Para evitalo, podemos tomar en cada intervalo [x_i,x_{i+1}] un polinomios de grao 3, p_i(x), de xeito que o resultado de tomar a unión dos p_i sexa unha función continua, con derivadas primeira e segunda tamén continuas.O resultado coñecese co nome de spline cúbico.

Pódese ver que, para atopar un spline cúbico, debe resolverse un sistema linear  tridiagonal, o que é doado de facer nun ordenador.

Exercicios de interpolación.

Veremos na entrada seguinte os comandos que Matlab e Octave teñen para calcular polinomios de interpolación.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Cálculo numérico, Interpolación polinomial. Ligazón permanente.

4 Responses to Interpolación a cachos (previo)

  1. Estudante di:

    O enlace que leva ao exemplo do spline cúbico non esta operativo, seria de axuda subir o pdf ao Campus Virtual se alguen o ten dispoñible.

    Saudos.

  2. Fran Pena di:

    A min a ligazón funcióname ben. A dirección debería ser:

    ftp://ftp.ing-mat.udec.cl/pub/ing-mat/asignaturas/521230/apuntes/CN_Interpolacion.pdf

  3. Anónimo di:

    Fran, hai que saber interpolar por cachos para o examen de enero? e no apartado do erro que é cx??

    • franpena di:

      As preguntas do exame é mellor que as fagades no foro da docencia virtual ou enviando un correo.

      O c_x é o punto onde habería que avaliar a fórmula de erro para coñecer exactamente a diferencia entre a función e o polinomio. Na práctica, non se sabe canto vale c_x; tense que calcular un límite superior da derivada para poder estimar o erro.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s