A limitación do erro na interpolación (previo)

Na entrada anterior démos un método para calcular un polinomio p que interpole o valor dunha función f nos nodos de interpolación.

É lexítimo preguntarse canto se diferencian f e p entre os nodos de interpolación, \displaystyle \left\{x_i\right\}_{i=1}^n, é dicir, no intervalo \displaystyle [a,b]=\left[\min_{1\leq i\leq n}\{x_i\}, \max_{1\leq i\leq n}\{x_i\}\right]. En xeral, a resposta depende da regularidade de f e da posición dos nodos de interpolacion.

Se f é n veces continuamente diferenciable en (a,b), é dicir, as derivadas de f ata orde n son continuas, daquela, para cada x\in[a,b], existe un punto c_x\in(a,b) tal que

\displaystyle f(x)-p(x)=\frac{(x-x_1)\ldots(x-x_n)}{n!}f^{(n)}(c_x).

Como na práctica non coñecemos o valor de c_x, só podemos aspirar a obter un límite máximo para o erro. Así, se soubesemos que

\displaystyle \max_{x\in[a,b]}f^{(n)}(c_x)\leq M,

daquela poderíamos afirmar que

\displaystyle |f(x)-p(x)|\leq \frac{M|x-x_1|\ldots|x-x_n|}{n!},

que é un límite do erro fácilmente calculable.

Exercicio: Calcula o erro máximo que se comete ao aproximar y=\text{e}^x coa parábola do exercicio anterior, no intervalo [0,2].

Exercicio: Calcula o erro máximo que se comete ao aproximar y=\cos(x) coa parábola que pasa polos puntos 0, π e π/2. Estima o erro para x=70º=7π/18 rad.

O fenómeno de Runge

A expresión do erro permítenos estudar con máis coidado onde o polinomio aproxima peor á función. Supoñamos, por comodidade, que temos un número par de nodos igualmente espaciados por unha distancia de 1/n no intervalo [a,b]. O polinomio (x-x_1)\ldots(x-x_n) só se anula nos nodos. Tomando un valor x no primeiro subintervalo [x_1, x_2], a distancia entre x e x_{i+1} é da orde de i/n e o polinomio anterior é da orde de

\displaystyle \prod_{i=1}^n \frac in=\frac{n!}{n^n}.

Porén, se tomamos x no medio do intervalo, é dicir, próximo a x_{n/2}, o valor do polinomio é da orde de

\displaystyle \prod_{i=1}^{n/2} \left(\frac in\right)^2=\frac{\left((n/2)!\right)^2}{n^n}.

O primeiro valor é maior que o segundo e a diferenza aumenta cando n aumenta. Por exemplo, para n=10, o primeiro é 1260 veces máis grande que o segundo. Logo, os erros entre f e p poden ser maiores nos extremos do intervalo que no medio e poden dispararse cando n aumenta. Este é o chamado fenómeno de Runge.

Como exemplo, vemos o que ocorre cando aproximamos a función \displaystyle y = \frac{1}{1+x^2} nos nodos -5, -4, …, 4, 5 polo seu polinomio de interpolación.

Unha estratexia para evitar esta situación que veremos na seguinte entrada, consiste en construir polinomios de interpolacion por tramos (a cachos) de xeito que, en cada tramo, o polinomio sexa de grado baixo.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Cálculo numérico, Interpolación polinomial. Ligazón permanente.

4 Responses to A limitación do erro na interpolación (previo)

  1. Alumno di:

    O valor de ‘M’ no primeiro exercicio proposto é de e^2, ¿no segundo exercicio proposto sería cos(pi / 2)?? -sendo pi/2 o punto final do intervalo-

    • franpena di:

      M ten que ser o máximo do valor absoluto da derivada n-ésima no intervalo que contén tódolos nodos de interpolación e o punto x. No primeiro exercicio, a derivada é exp(x) e o intervalo é [0,2]. Como a exponencial é crecente, o máximo é e2. No segundo exercicio, a derivada terceira é o sin(x) en [0, pi/2]; logo o máximo é 1.

  2. Alumno1 di:

    No exercicio de calcular o erro maximo que hai no [0.2], o maximo seria e^2 pero cales serían os x1,x2,x3…,xn? para estimar o erro?

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s