Límites básicos

O concepto de límite está ligado á idea de aproximación: dirase que o límite dunha función f no punto α é L se, cando x se achega a α, f(x) se achega a L, sen excepción.

Non é moi difícil comprobar se un valor pode ser o límite dunha función. Por exemplo, para comprobar se 2 pode ser o límite da función \displaystyle f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} cando x tende a 1, basta con tomar valores para x que se acheguen a 1, como a sucesión x_n=1+1/n, e ver se os valores f(x_n) se achegan a 2.

n x_n f(x_n)
10 1,1 2,1
100 1,01 2,01
1000 1,001 2,001

Porén, para demostrar que ese valor é o límite, habería que comprobar que tódalas  (infinitas) sucesións posibles de x_n dan como resultado o mesmo límite para f. Un xeito de formalizar esta idea é usando contornos: o límite de f en α é L se

para todo contorno Y de L, existe un contorno X_Y de α, tal que f(X_Y\backslash\{\alpha\}) \subset Y.

Deste xeito, garántese que non pode haber valores de x arbitrariamente próximos a α con valores f(x) lonxe de L. Na definición anterior, non importa o valor da función en α, tan só nos puntos próximos a α.

A definición anterior é difícil de aplicar na práctica para probar a existencia de límites, pero si que serve para probar certas propiedades das funcións. Por exemplo:

Se o límite dunha función en α é finito, daquela existe un contorno de α no que a función está limitada. Pola contra, se o límite dunha función en α é infinito daquela, para cada cada constante K, existe un contorno de α no que a función vale máis que K.

Estas propiedades aplícanse para calcular a orde de converxencia dun algoritmo.

Se o límite L dunha función en α é positivo ou infinito, daquela existe un contorno de α no que a función sempre toma valores positivos.

Para velo, basta tomar como Y un contorno de L que só conteña valores positivos.

Exemplo: A función y = 1-\cos(10x)\exp(-x) oscila entre valores positivos e negativos. Porén, como o seu límite cando x tende a infinito é un, pódese garantir que existe un intervalo (a, +∞) tal que a función é sempre positiva nese intervalo.

Exemplo: A función y = 1/\cos(x) tende cara +∞ cando x tende a π/2. Polo tanto, existe un valor a<π/2, tal que a función é sempre positiva en (a, π/2).

Demostración da inexistencia de límites

A negación da definición de límite permítemos demostrar que o límite non existe cando atopamos dúas sucesións x_n e y_n que tenden a α, e polas que f acada límites distintos. Por exemplo, a función f(x) = sen(1/x) non ten límite en 0, porque os valores da función polas sucesións \displaystyle x_n= \frac{1}{2k\pi+\pi/2} e \displaystyle y_n= \frac{1}{2k\pi-\pi/2} tenden 1 e -1, respectivamente. A gráfica desta función pode verse aquí:

Exemplo (límites laterais): o límite da función y = x/|x| en x=0 non existe pois:

  • o valor de función en toda sucesión de números negativos que tende a cero é -1.
  • o valor de función en toda sucesión de números positivos que tende a cero é 1.

Exercicio: demostra que os límites de \displaystyle y=\frac{x-1}{x-3} e \displaystyle y=\frac{x+5}{x^2-4x+3}, cando x tende a 3, non existen.

Cálculo de límites (sen indeterminación)

Por tanto, a definición formal de límite úsase para probar certas propiedades das funcións, ou ben para ver que un límite non pode existir. Pero para demostrar que un límite si existe, úsase un proceso constructivo.

1) Suporemos certo que

  • \lim_{x\rightarrow x_0}c = c, \ \forall c, x_0\in I\!\!R (o límite dunha constante é a propia constante).
  • \lim_{x\rightarrow x_0}x = x_0, \ \forall x_0\in I\!\!R (o límite de x é o valor do límite).

2) Dados os límites \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = L\lim_{x\rightarrow x_0}g(x) = M, con L,M\in I\!\!R\cup \{\pm\infty\}, daquela  \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)\odot g(x) = L\odot M, sendo \odot calquera operación básica, sempre que non se chegue a unha indeterminación.

As indeterminacións son resultados do tipo \displaystyle \frac{\infty}{\infty}\infty-\infty\displaystyle \frac{0}{0}0\cdot\infty0^0\infty^01^\infty .

Exemplo: os polinomios teñen límite ne calquer punto;  o límite do polinomio y = a_0+a_1x+\ldots +a_mx^m cando x tende a x_0 é a_0+a_1x_0+\ldots +a_mx_0^m, pois un polinomio son sumas e multiplicacións de constantes con x.

Exemplo: As funcións racionais teñen límite agas, como moito, nas raíces do denominador.

Exercicio: Razona por que a raíz cadrada ten límite se o radicando é positivo.

Para o cálculo de límites con composicións de funcións, basearémonos na seguinte propiedade:

Se \lim_{x\rightarrow x_0} f(x) = L e g é unha función continua en f(x_0), daquela \lim_{x\rightarrow x_0} g(f(x)) = g(L). As funcións trogonométricas, exponenciais e logarítmicas son continuas no seu dominio.

Exemplo: O límite da función y=\cos(\exp(x)) para x=0 é cos(1).

Como vemos, fóra deste xeito de calcular límites quedan os casos que conducen a unha indeterminación. Analizarémolos na seguinte entrada do blog.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Límites. Ligazón permanente.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s