Continuidade de funcións

Unha función f definida nun contorno de x_0 dise continua en x_0, se

\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}f(x) =f(x_0).

Unha funcion f definida no intervalo [a,b] é continua no extremo a se o límite lateral cara a^+ coincide co valor da función en a (e, analogamente, para b).

Unha función f  dise continua no conxunto I se é continua en cada punto de I.

Exemplo: A función \displaystyle y=\frac{x^2-1}{x-1} non é continua en x=1.

As funcións que poden ser extendidas nun punto para reconvertilas en continuas, presentan unha discontinuidade evitable. Notro caso, dise que teñen unha discontinudade de salto.

Exemplo: A función anterior pode ser extendida do seguinte xeito para evitar a discontinuidade en x=1:

\displaystyle y = \begin{cases}\displaystyle\frac{x^2-1}{x-1},\text{ se }x\neq 1,\\2,\text{ noutro caso.}\end{cases}

As funcións contantes, polinomiais, trigonométricas (e as súas inversas),  exponenciais (e as súas inversas) son continuas nos seus dominios.

Para o resto de funcións aplícanse as seguintes regras:

1) Se f e g son funcións continuas en x_0, daquela \displaystyle f\odot g é continua en x_0, sendo \odot calquera operación básica, sempre que non se chegue a unha indeterminación ou ±∞.

2) Se f é continua en x_0 e g é continua en f(x_0), daquela a composición é g\circ f é continua en x_0.

Máis exercicios de continuidade.

Teorema do valor intermedio

Se f é continua en [a, b], daquela f alcanza todos os valores entre f(a) e f(b).

Dedúcese do anterior que, cando f(a) e f(b) teñen signo oposto, debe existir polo menos un punto c\in[a,b] tal que f(c)=0, é dicir, que existe polo menos unha raíz  f no intervalo [a,b]. Este novo resultado é coñecido polo nome de Teorema de Bolzano.

Exemplo: A función y = cos(x)-x ten, a lo menos, unha raíz en [0, π] pois:

  • a función é continua en [0, π],
  • o valor da función en x= 0 é positivo: cos(0)-0 = 1 > 0,
  • o valor da función en x =π é negativo: cos(π) -π = -1-π <0.

Exemplo: A función y = 1/cos(x)-1/x^3+5 ten, a lo menos, unha raíz en [0, π/2] pois:

  • A función é continua en [0, π/2],
  • O limite da función cando x tende a 0+ é -∞. Polas propiedades dos límites, existe un punto a>0 tal que a función é sempre negativa en (0,a].
  • O limite da función cando x tende a π/2 é +. Polas propiedades dos límites, existe un punto b tal que a función é sempre positiva en [b,π/2).

A conclusión obtense de aplicar o resultado no intervalo [a,b].

Máis exercicios de busca de raíces.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Continuidade. Ligazón permanente.

4 Responses to Continuidade de funcións

  1. Estudante di:

    Na funcion que extendes no exemplo cando x tende a ser 1 a funcion non tendería a ser 0? non 2 como pos non?

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s