Regras de cálculo dos límites

Na entrada anterior vimos como calcular límites cando non se presenta unha indeterminación. Nesta entrada veremos regras para calcular un límite cando se presenta unha indeterminación.

Eliminación de factores comúns

Aplícase cando temos unha raíz no numerador e no denominador, que producen a indeterminación.

Exemplo: o límite \displaystyle \lim_{x\rightarrow 3}\frac{3-x}{x^2-4x+3} conduce inicialmente a 0/0. Porén, eliminando o factor x-3 no numerador e denominador, vemos que o límite é -1/2.

Este método pódese aplicar a funcións non racionais multiplicando polo conxugado.

Exemplo: o límite \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{3-\sqrt{x^2+8}}{1-x} conduce incialmente a 0/0. Porén, multiplicando polo conxugado do numerador,  \displaystyle \lim_{x\rightarrow 1}\frac{1-x^2}{1-x}\cdot\frac{1}{3+\sqrt{x^2+8}}. Eliminando o factor 1-x, vemos que o límite é 1/3.

Límites no infinito de funcións racionais

No caso de límites no infinito de funcións racionais o límite pode calcularse dividindo arriba e abaixo na fracción polo termo de maior grao.

Exemplo: o límite \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x^3+6}{4x^3-6x} conduce incialmente a \infty/\infty. Porén, dividindo por x^3 vemos que o límite vale 1/4.

Regra de L’Hôpital

Aplícase a límites do tipo \displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}. Se o valor de f e g en x0 é 0, hai un contorno de x0 onde as derivadas de f e g existen e a derivada de g non se anula, daquela

\displaystyle \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)},

se o límite da dereita existe.

Exemplo: se p é un polinomio m de grao n, o valor de \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{p(x)}{e^x} é cero; demóstrase aplicando a regra de  L’Hôpital n veces.

Exercicio: Demostra que \displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\log(x)}{x} é cero.

Exercicios de límites.

Na seguinte entrada falaremos de funcións continuas.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Límites. Ligazón permanente.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s