Regras de derivación

Na entrada anterior vimos a definción da pendente dunha función. Podemos considerar a pendente en cada punto coma o valor dunha nova función, a derivada da función:

\displaystyle \frac{\text{d}}{\text{d}x}f(x) = f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

De existir o límite, dise que f é derivable en x. Por extensión, dise que f é derivable no conxunto I se é derivable en en tódolos puntos de I.

Hai regras, obtidas do límite anterior, que nos permiten coñecer a derivada en moitos casos:

  1. Derivada dunha constante: \displaystyle \big(k\big)' = 0.
  2. Derivada de x: \displaystyle \big( x\big)' = 1.
  3. Derivada dunha suma de funcións derivables en x: \displaystyle \big(u(x)\pm v(x)\big)' = u(x)'\pm v'(x).
  4. Derivada dunha multiplicación de ídem: \displaystyle \big(u(x)\cdot v(x)\big)' = u'(x)\cdot v(x) +u(x)\cdot v'(x).
  5. Derivada do seno: \displaystyle \big(\sin(x)\big)' = \cos(x).
  6. Derivada do coseno: \displaystyle \big(\cos(x)\big)' = -\sin(x).
  7. Derivada da exponencial: \displaystyle \big(\exp(x)\big)' = \exp(x).

Das derivadas anteriores, dedúcense as seguintes regras adicionais:

  1. Derivada punha potencia: \displaystyle \big(x^k\big)' = kx^{k-1}.
  2. Derivada dunha división: \displaystyle \big(u(x)/v(x)\big)' = \big(u'(x)\cdot v(x) -u(x)\cdot v'(x)\big)/v^2(x).
  3. Derivada da tanxente: \displaystyle (\tan(x))'=1/\cos^2(x)=1+\tan^2(x).
  4. Derivada da cotanxente: \displaystyle (\cot(x))'=-1/\sin^2(x) = -1-\cot^2(x).
  5. Derivada da secante: \displaystyle (\sec(x))'=\sec(x)\tan(x).
  6. Derivada da cosecante: \displaystyle (\text{cosec}\,(x))'=-\text{cosec}\,(x)\,\cot(x).

Regra da cadea

Tamén debemos considerar a derivada dunha composición, ou regra da cadea:

  1. Se u é derivable en x e v en u(x), daquela \displaystyle \big(v\circ u(x)\big)'(x) = v'(u(x))\cdot u'(x).

Desta regra dedúcense as derivadas de funcións que se poden escribir como composición doutras:

  1. Derivada dunha exponencial xeral: \displaystyle \big(a^x\big)' = \big(\text{e}^{x\,\text{ln}\,a}\big)' = \text{e}^{x\,\text{ln}\,a}\cdot\text{ln}\,a = a^x\,\text{ln}\,a.

Derivación implícita

A regra da cadea tamén permite deducir a derivada de curvas definidas por unha relación implícita entre x e y.

Exemplo: a ecuación implícita x²+y²=1 define a circunferencia centrada en (0,0), de radio 1. Esta ecuación non se pode despexar de xeito unívoco, é dicir, non existe ningunha función f, tal que a circunferencia completa cumpla que y = f(x). Aínda se podería argumentar que é a unión de dúas funcións, y = ± √(1-x²). Porén, non sería difícil atopar ecuacións implícitas que non se podan reducir a un número finito de gráficas; por exemplo, a espiral tan(x²+y²)=y/x.

Para calcular a derivada dunha ecuación implícita, hai que derivar os dous lados da ecuación respecto de x, supoñendo que y é unha función derivable de x.

Exemplo: derivando ámbolos dous lados de x²+y² = 1 obtemos que 2x+2y·y’ = 0 e, despexando, y’ = -x/y. Obsérvese que o sumando y² derivouse aplicando a regra da cadea á composición y(x)², e supoñendo que y(x) é derivable.

A derivación implícita permite deducir outro feixe de regras de derivación:

  1. Derivada do logaritmo natural: \displaystyle \big(\log(x)\big)' = 1/x.
  2. Derivada do logaritmo de base a: \displaystyle \big(\log_a(x)\big)' = 1/(x\log a).
  3. Derivada do arcoseno: \displaystyle \big(\arcsin(x)\big)'=1/\sqrt{1-x^2}.
  4. Derivada do arcocoseno: \displaystyle \big(\arccos(x)\big)'=-1/\sqrt{1-x^2}.
  5. Derivada da arcotanxente: \displaystyle \big(\arctan(x)\big)'=1/(1+x^2).

Exemplo: Para atopar a derivada de y = arccos(x), escribimos a ecuación implícita x = cos(y) e derivamos implícitamente, 1 = -sin(y) y’. Despexando,

\displaystyle y' = -\frac{1}{\sin(y)} = -\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(y)}} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.

Exercicio: Hai moitas outras regras que se poden deducir coa derivación implícita. Por exemplo, demostra que

\displaystyle \left(u(x)^{v(x)}\right)'=\left[v'(x)\log(u(x))+\frac{u'(x)v(x)}{u(x)}\right]u(x)^{v(x)}.

Como pista, toma logaritmos en y = u(x)^v(x) para derivar log(y) = v(x) log(u(x)).

Máis exercicios de derivación.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Derivación. Ligazón permanente.

3 Responses to Regras de derivación

  1. Valentín Barros di:

    Me da la impresión de que en la regla número 10 hay un error… ¿donde pone

    (tan(x))’ = 1 / cos^2(x) = 1+ tan^2(x)

    no debería poner

    (tan(x))’ = 1 / cos^2(x) = sec^2(x)

    ?

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s