Estimación do erro no polinomio de Taylor

Na entrada anterior vimos a expresión do polinomio de Taylor dunha función e comprobamos, nun caso particular, que o polinomio parece aproximar mellor a función cando o grao deste aumenta.

O erro cometido ao aproximar unha función f polo seu polinomio de Taylor de grao n arredor de x0, chámase resto de grao n+1:

\displaystyle R_{n+1}(x) = f(x)-T_n(x).

Se a función é polo menos n+1 veces continuamente diferenciable, este resto ten unha expresión precisa:

\displaystyle R_{n+1}(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1},

onde c é un punto entre x e x0, descoñecido a priori.

Se as derivadas da función están limitadas por un valor máximo, independente de n, pódese estimar o erro que se comete na aproximación anterior nun punto concreto.

Exemplo: Calcula o valor de e usando o polinomio de Taylor de y=\mathrm{e}^x arredor do 0, cun erro menor que 1e-6.

Usando o polinomio de Taylor da función exponencial arredor do cero podemos decir que

\displaystyle \exp(x) = 1 + x +\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\ldots+\frac{x^n}{n!}+R_{n+1}(x).

Para x = 1, obtemos que

\displaystyle \text{e} = \exp(1) = 1 + 1 +\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\ldots+\frac{1}{n!}+ R_{n+1}(1).

Debemos garantir que |Rn+1(1)|<10-6. É dicir, que

\displaystyle \frac{\exp(c)}{(n+1)!}<10^{-6}, para c\in [0,1].

Como exp(c)< exp(1)<3, garantiremos a limitación do erro se tomamos

\displaystyle \frac{3}{(n+1)!}<10^{-6}.

Probando para distintos valores de n, vemos que o menor valor admisible é n = 9.

Outro tipo de aproximacións baséase na idea de que o polinomio parécese á función nun intervalo, maior canto maior é o grao n.

Exemplo: Calcula en qué intervalo pode substituirse o coseno pola aproximación         1-x2/2+x4/24, sen cometer un erro maior de 1e-4.

O polinomio proposto no enunciado é o polinomio de Taylor do coseno arredor do cero de grao 5. Por tanto,

\displaystyle cos(x)-T_5(x) = R_6(x) = \frac{-\cos(c)}{6!}x^6,\ \ c\in[0,x].

Como |cos(x)|≤1, para garantir que |R6(x)|<10-4, basta tomar

\displaystyle \frac{|x^6|}{6!}<10^{-4}.

É dicir, basta tomar |x|<0,645.

Máis exercicios do polinomio de Taylor.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Derivación. Ligazón permanente.

2 Responses to Estimación do erro no polinomio de Taylor

  1. Alumno di:

    No segundo exercicio o polinomio do enunciado tamén se correspondería con T4(x), ademais de T5(x). Traballamos con T5(x) porque o erro é menor?

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s