O polinomio de Taylor

O polinomio de Taylor é outro xeito de aproximar unha función mediante un polinomio. Se no caso da interpolación polinomial era preciso coñecer o valor da función en varios puntos, agora veremos como aproximar a función cando se lle coñecen varios graos da súa derivada nun só punto.

Empecemos por considerar unha función, f, continua en x_0 e  con derivadas continuas en x_0 ata grao n (neste caso dise que f é n veces continuamente diferenciable).  Definimos  o polinomio de Taylor da función f de grao n arredor do punto x_0 como:

\displaystyle T_n(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2+\ldots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.

Resumidamente, o anterior polinomio de Taylor pódese escribir como

\displaystyle T_n(x) = \sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}}{k!}(x_0)(x-x_0)^k.

Exemplo: cálculo do polinomio de Taylor de sin(x) arredor do cero, para distintos graos.

Tras calcular as derivadas sucesivas do seno e avalialas en cero, obtemos:

  • T0(x) = 0,
  • T1(x) = T2(x) =  x,
  • T3(x) = T4(x) =  x – x3/6,
  • T5(x) = T6(x) =  x – x3/6 + x5/120 ,
  • T7(x) = T8(x) =  x – x3/6 + x5/120 – x7/5040,
  • T9(x) = T10(x) = x – x3/6 + x5/120 – x7/5040 + x9/362880.

Como podemos ver na seguinte gráfica, ao aumentar o grao do polinomio, parece aproximar ben ao seno nun intervalo maior:

Veremos na seguinte entrada que esta impresión non é casual; é debida ás propiedades de aproximación do polonimio de Taylor.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Derivación. Ligazón permanente.

6 Responses to O polinomio de Taylor

  1. Creo que na parte na que escribes a forma desenvolta do polinomio de Taylor, no ultimo termo hai un x0 que tería que estar no numerador non?

  2. Duda di:

    A expresión T(0,5) sería unha forma axeitada de referirse ao polinomio de Taylor de grao 5 arredor do 0? Gracias

    • franpena di:

      Aínda que non hai unha notación estándar, creo que o que propós podería confundirse co polinomio avaliado para x = 0,5. O polinomio de Taylor de grao n adoita representarse por Tn(x). Se quere indicarse que é arredor do punto a, daquela pode escribirse Tn,a(x).

      • Duda di:

        Entón T(0,5) faría referencia ao polinomio de Taylor avaliado en x=0,5 sen mencionar ningún grao en concreto?

      • franpena di:

        Como digo, non hai unha notación estándar, pero a dependencia de parámetros soe indicarse con subíndices ou superíndices: Tn,a(x). Poñelos entre os argumentos non é o habitual e, cando así se fai, se separan cun punto e coma para aclarar que non son variables coma x, por exemplo, T(n,a; x).

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s