Derivación numérica

O polinomio de Taylor tamén permite aproximar numéricamente a derivada dunha función. Se f é tres veces continuamente diferenciable, para h>0,

\displaystyle f(x+h) = f(x)+f'(x)(x+h-x)+\frac{f''(c)}{2}(x+h-x)^2,\ \ c\in[x, x+h].

Despexando a derivada,

\displaystyle f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{f''(c)}{2}h.

Se f”(c) está limitada por unha constante, para c entre x e x+h, daquela o erro redúcese linearmente con h; coa notación de Landau, o erro é O(h). A fórmula anterior é a chamada diferencia finita dividida (DFD) cara adiante de 2 puntos:

\displaystyle f'(x) = \frac{f(x+h)-f(x)}{h}+O(h).

Como vimos nesta entrada, o erro redúcese linearmente ata que h é da orde de 1e-8, momento no que o erro numérico debidos á cancelación das cifras significativas empeza a dominar.

Aproximación da derivada “cara adiante”

A fórmula anterior pódese usar para aproximar a derivada dunha función nun intervalo [a,b]. Nese caso, é habitual tomar puntos igualmente espaciados, x= a + (i-1)h, i=1,…,n, onde h é o paso constante entre puntos. Deste xeito, a DFD queda:

\displaystyle f'(x_{i}) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{h}+O(h),\ \ i=1,\ldots,n-1.

 

Aproximación da derivada “cara atrás”

Se escribimos a fórmula de Taylor para x=xi-1, obtemos

\displaystyle f(x_{i-1}) = f(x_i)+f'(x_i)(x_{i-1}-x_i)+\frac{f''(c)}{2}(x_{i-1}-x_i)^2,\ \ c\in[x_{i-1}, x_i],

para i= 2,…n. Despexando a derivada, aparece a DFD cara atrás de 2 puntos:

\displaystyle f'(x_i) = \frac{f(x_i)-f(x_{i-1})}{h}+O(h),\ \ i=2,\ldots,n.

Aproximación da derivada “centrada”

Restando os polinomios de Taylor para x=xi-1 e x=xi+1, obtemos a DFD centrada de 3 puntos:

\displaystyle f'(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_{i-1})}{2h}+O(h^2),\ \ i=2,\ldots,n-1.

Obsérvese que, neste caso, o erro redúcese de forma cuadrática respecto de h, o que a convirte na mellor fórmula das tres.

Outras aproximacións da derivada de tres puntos

Aumentando o número de puntos involucrado nas fórmulas, podemos aumentar a súa precisión. Operando cos polinomios de Taylor para x=xi+1 e x=xi+2, obtemos a DFD cara adiante de 3 puntos:

\displaystyle f'(x_i) = \frac{-3f(x_{i})+4f(x_{i+1})-f(x_{i+2})}{2h}+O(h^2),\ \ i=1,\ldots,n-2.

Análogamente, operando cos polinomios de Taylor para x=xi-1 e x=xi-2, obtemos a DFD cara atrás de 3 puntos:

\displaystyle f'(x_i) = \frac{3f(x_{i})-4f(x_{i-1})+f(x_{i-2})}{2h}+O(h^2),\ \ i=2,\ldots,n.

Aumentando aínda máis o número de puntos, podemos obter fórmulas con erro O(h³) e superiores. Na práctica, estas fórmulas de orde superior só se usan se estamos seguros da regularidade das funcións aproximadas.

Exercicio práctico de derivación numérica.

Aproximación da derivada segunda “centrada”

O polinomio de Taylor tamén serve para aproximar derivadas maior grao, como derivadas segundas; Sumando os polinomios de Taylor para x=xi-1 e x=xi+1, obtemos a DFD centrada de 3 puntos para f”(x):

\displaystyle f''(x_i) = \frac{f(x_{i+1})-2f(x_{i})+f(x_{i-1})}{h^2}+O(h),\ \ i=2,\ldots,n-1.

Obsérvese que, ao aumentar o grao da derivada, a orde do erro con tres puntos reduciuse a O(h).

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Cálculo numérico, Derivación numérica. Ligazón permanente.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s