Extremos de funcións

Un extremo é un punto onde a función acada un máximo ou un mínimo. O extremo denomínase local (ou relativo) se está circunscrito a un contorno do punto:

  • x0 é un máximo local se existe un contorno C de x0 tal que f(x0) ≥ f(x), para todo x de C.
  • x0 é un mínimo local se existe un contorno C de x0 tal que f(x0) ≤ f(x), para todo x de C.

O extremo dise que é absoluto nun intervalo I se o contorno C coincide con I.

Exemplo: A función  y = 1+24x+24x2-x4 ten varios extremos no intervalo I = [-5,5]. Ten un máximo local cerca do -3,1 e o máximo absoluto de I cerca do 3,6. Ademais, ten mínimos locais en -0,5 e 5, e o mínimo absoluto de I en -5.

A busca de extremos tamén se chama optimización.

Busca de extremos locais

A busca de extremos locais, no caso de funcións derivables, comeza calculando os puntos críticos da función, é dicir, aqueles onde a derivada é nula. Para cada punto crítico, calculamos a derivada de menor grao que é distinta de cero. Se o grao da derivada é par, daquela é tamén un extremo local, e o punto será un máximo se a derivada é negativa, e un mínimo se é positiva. Se é impar, o punto crítico é un punto de inflexión.

Exemplo: Calcula os extremos locais de y = x3.

A derivada da función anúlase en x = 0. A derivada de menor grao que non se anula en x = 0 é  a terceira, y”'(0) = 6. Polo tanto, en x= 0 existe un punto de inflexión.

Busca de extremos absolutos

No caso de funcións continuas cando o intervalo I é pechado e limitado, os extremos absolutos sempre existen. Neste caso, basta buscar os candidatos a extremos e avaliar a función neles. Os candidatos son:

  • os puntos críticos,
  • os puntos onde a función non é derivable, e
  • os extremos do intervalo.

Exemplo: Calcula o máximo e o mínimo absolutos de y = x2/3 no intervalo [-1,2].

A función é continua en [-1,2], logo os extremos absolutos existen nese intervalo. Os candidatos son os extremos do intervalo (x = -1 e x = 2), os puntos onde a función non é derivable (x = 0) e os puntos onde a derivada é nula (ningún). Avaliando a función nos cadidatos, vemos que o máximo absoluto dáse en x = 2 e o mínimo absoluto en x = -1.

Exemplo: As ecuacións do tiro parabólico indican que a altura alcanzada por un proxectil ven data por y = sin(θ)v0t – gt2/2, con v0>0, g>0 e θ∈(0, π/2). Calcula a altura máxima.

A altura é cero tanto para t=0 como para t = 2sin(θ)v0/g. Buscamos o máximo da función (continua) y no intervalo (pechado e limitado) [0, 2sin(θ)v0/g]. Como ese máximo absoluto debe existir, consideramos os posibles candidatos: son os extremos, onde a función vale cero, e os puntos de derivada nula, é dicir, t = sin(θ)v0/g. Neste último punto a función vale sin2(θ)vo2/(2g) > 0, logo esa é a altura máxima acadada.

Exemplo: A rixidez dunha viga é a súa capacidade de soportar esforzos sen sufrir grandes deformacións. O coeficiente de rixidez flexional da viga indica a súa rixidez baixo esforzos de flexión. No caso de que a sección da viga sexa rectangular este coeficiente é proporcional ao ancho multiplicado pola altura ao cubo. Calcula a sección da viga con maior rixidez flexional que se pode cortar dun toro de radio 12 cm.

O coeficiente de rixidez flexional será R = kah3, onde a é o ancho, h é a altura e k e o coeficiente de proporcionalidade. Se a diagonal máxima da viga pode ser 24 cm, daquela a2+h2= 242. Por tanto, debemos maximizar R/k = h3√(576 – h2), no intervalo [0,24]. A derivada de R/k anúlase para h = 12√3; neste candidato é onde a R/k acada o maior: R = k·62208√3.

Máis exercicios de extremos.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Derivación. Ligazón permanente.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s