Os teoremas de Rolle e do valor medio

As funcións derivables teñen unha serie de propiedades destacables. Para empezar, toda función derivable nun punto, tamén é continua nel.

Teorema de Rolle

Tomemos unha función  f, continua en [a,b] e derivable en (a,b). Se o valor que alcanza nos extremos é o mesmo (é dicir, f(a) = f(b)), daquela hai polo menos un punto en (a,b) no que a derivada de f é nula.

Esta propiedade pode usarse nun argumento de reducción ao absurdo, para comprobar que a raíz dunha función nun intervalo é única.

Exemplo: A raíz de y = cos(x)-x en [0,π] é única.

Xa vimos nestra entrada que existía polo menos unha raíz. A derivada y’ = –sin(x)-1 non se anula en (0,π), polo que a función non pode ter dúas raíces. En efecto, de ter dúas, habería un subintervalo, coas raíces por extremos, no que tería que anularse a derivada, o que xa vimos que non acontece.

Exemplo: A raíz de y = 1/cos(x)-1/x3+5 en [0,π/2] é única.

Xa vimos nestra entrada que existía polo menos unha raíz no intervalo [a,b], contido en [0,π/2]. A derivada y’ = sin(x)/cos2(x)+3/x4 non se anula, pois todos os termos son positivos cando x pertence a [a,b].

Exercicios: Intenta demostrar que a raíces desta entrada son únicas.

Teorema do valor medio

Partimos tamén dunha función f continua en [a,b] e derivable en (a,b). Este teorema postula que sempre existe un punto en (a,b) no que a derivada é igual a (f(b)-f(a))/(b-a).

Este resultado ten unha interpretación física: se x(t) é a distancia percorrida por un corpo no tempo t, daquela (x(b)-x(a))/(b-a) é a velocidade media do corpo no intervalo de tempo [a,b]. O resultado implica que sempre existe un tempo no que a velocidade instantánea coincide coa velocidade media.

Exercicio: Demostra que unha goma elástica que se estira por ámbolos dous extremos, sempre conterá un punto que non cambia de lugar tras o estiramento.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Análise matemática, Derivación. Ligazón permanente.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s