Exercicios de rectas resoltos

1) Determima a ecuación xeral da recta que pasa polos puntos P(-3,4) e Q(3,12)

\displaystyle \frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{x-x_0}{x_1-x_0} \Rightarrow \frac{y-4}{8}=\frac{x+3}{6} \Leftrightarrow \\[\baselineskip] \Leftrightarrow y - 4 = \frac{8x+24}{6} \Leftrightarrow 6y - 24 = 8x + 24 \Leftrightarrow 4x - 3y + 24 = 0

2) Ídem da recta que pasa polo punto P(-3,4) e con vector director v=(1,-2)

\displaystyle y - y_0 = \frac{v_1}{v_0} (x - x_0) \Rightarrow y - 4 = -2(x + 3) \Leftrightarrow 2x + y + 2 = 0

3) Ídem da recta que pasa polo punto P(-3,4) e é paralela á recta 3x+2y=0

A pendente dunha recta ax + by = 0 é m = -\frac{a}{b} , logo a recta 3x + 2y = 0 ten pendente m = -\frac{3}{2}

A ecuación da recta que pasa polo punto P(-3, 4) con pendente \frac{-3}{2} e

\displaystyle y - y_0 = m(x - x_0) \Rightarrow y - 4 = \frac{-3}{2} (x + 3) \Leftrightarrow 3x + 2y + 1 = 0

4) Ídem da recta que pasa polo punto P(-3,4) e é perpendicular a 3x+2y=0

Pendente da recta que pasa por P(-3, 4),

\displaystyle m_0 = -\frac{1}{m} \Rightarrow m_0 = \frac{2}{3}

logo a súa ecuación será

\displaystyle y - y_0 = m(x - x_0) \Rightarrow y - 4 = \frac{2}{3} (x + 3) \Leftrightarrow 3y - 12 = 2x + 6 \Leftrightarrow 2x - 3y + 18 = 0

5) Ídem da recta con pendente 1/2 que corta o eixo OY en y=3

\displaystyle y - y_0 = m(x - x_0)

Tendo que

\displaystyle ax + by + c = 0 \wedge m = -\frac{a}{b} \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{a}{b} \Rightarrow -x + 2y + c = 0

e cando

\displaystyle \left \{ \begin{matrix} x = & 0 \\ y = & 3 \end{matrix} \right .

temos

\displaystyle 6 + c = 0 \Leftrightarrow c = -6

logo a ecuación é

\displaystyle x - 2y + 6 = 0

6) Se as rectas Ax+By+C=0 e Dx+Ey+F=0 son paralelas, que relación cumpren os coeficientes? E se son perpendiculares?

Se son paralelas

\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{D}{E}

Se son perpendiculares

\displaystyle \frac{A}{B} = -\frac{E}{D}

7) Supoñamos que os eixos OX e OY son os bordes dunha mesa de billar. Un xogador quere introducir unha bola posicionada no (2,2) na tronera ubicada no (0,1), de xeito que rebote no eixo OX. En que punto do eixo OX debe rebotar a bola? Pista: se a traxectoria segue unha recta de pendente m, a bola rebotada transita por unha recta de pendente -m.

Temos que a recta que corresponde á bola “lanzada” pasa polo punto (2, 2), e a rebotada pasa polo punto (0, 1). Ambas teñen que pasar por un punto (a, 0) para que o tiro rebote no eixo OX. Como a bola rebotada ten pendente -m, temos as ecuacións

\displaystyle \left \{ \begin{matrix} \cfrac{y - y_0}{y_1 - y_0} = & \cfrac{x - x_0}{x_1 - x_0} \\ \\ \cfrac{y - y_0}{y_1 - y_0} = & -\cfrac{x - x_0}{x_1 - x_0} \end{matrix} \right . \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \cfrac{y}{2} = & \cfrac{x - a}{2 - a} \\ \\ \cfrac{y}{1} = & -\cfrac{x - a}{-a} \end{matrix} \right . \Leftrightarrow a = \frac{2}{3} \Rightarrow \left \{ \begin{matrix} \cfrac{y}{2} = & \cfrac{3x}{4} - \cfrac{1}{2} \\ \\ y = & 1 - \cfrac{3x}{2} \end{matrix} \right .

como podemos observar na seguinte imaxe

Image

8) Unha vía férrea de montaña ten zonas dunha inclinación do 36%. Nese punto, os asentos dianteiros do vagón están catro metros por riba dos traseiros. Cal é a lonxitude do vagón?

Con unha imaxe de apoio, como a seguinte

Image

podemos ver a recta inclinada, que representa o vagón, e xunto coa recta que forma o eixo OX imaxinar un rectángulo para o cal necesitamos saber a lonxitude da base. Nomeamos a altura como «a», «b» para a base, «m» para a pendente e «h» para a hipotenusa do triángulo que obtemos ao calcular a lonxitude da base. Como a relación entre a altura deste triángulo —4 metros— e a súa base é

\displaystyle \frac{a}{b} = m \Rightarrow \frac{4}{b} = 0.36 \Leftrightarrow b = 11.\overline{1} \; metros

polo que xa tremos o triángulo formado e podemos calcular a súa hipotenusa —a lonxitude do vagón,

\displaystyle h^2 = a^2 + b^2 \Rightarrow h \approx \sqrt{139.45679} \Leftrightarrow h \approx 11.809 \; metros

O debuxo seguinte mostra a lóxica empleada para solucionar o problema

Image

Os exercicios foron feitos coa axuda de WolframAlpha ( http://www.wolframalpha.com/ ), ferramenta á cal pertencen as imaxes.

CC BY-SA 3.0 por “Valentín Barros”

Advertisements
Estas entrada foi publicada en Análise matemática, Exercicios, Funcións coas etiquetas , , , . Ligazón permanente.

One Response to Exercicios de rectas resoltos

  1. Anton Bouzán Cumplido di:

    No exercicio 7 non entendo comos sacas a=2/3 a partir das ecuacións paramétricas

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s