Interpolación a cachos

Na entrada anterior vimos que o polinomio de interpolación pode chegar a diferenciarse moito da función cando o seu grao aumenta, debido ao fenómeno de Runge. Unha estratexia para evitar esta situación consiste en construir un polinomio de interpolación de grao baixo en cada intervalo [x_i, x_{i+1}]. Así, a expresión do polinomio en \displaystyle [a,b]=\left[\min_{1\leq i\leq n}\{x_i\}, \max_{1\leq i\leq n}\{x_i\}\right] dependerá do intervalo na que se avalíe.

O caso máis sinxelo é interpolar cada dous nodos cun polinomio de grao 1 (recta):

\displaystyle p(x) = f(x_i)\frac{x-x_{i+1}}{x_i-x_{i+1}}+f(x_{i+1})\frac{x-x_i}{x_{i+1}-x_i},\text{ se }x_i\leq x\leq x_{i+1}.

O erro no intervalo [x_i, x_{i+1}] queda

\displaystyle f(x) -p(x) =\frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})}2f''(c_x),\text{ con }c_x\in[x_i,x_{i+1}].

Se tomamos todos os nodos igualmente espaciados por unha distancia h, daquela

\displaystyle \frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})}2 \leq \frac{h^2}8,

xa que o máximo de t(ht) para 0≤th é h²/2. Se, ademáis, o valor absoluto da derivada segunda de f en [a,b] está limitada por M, podemos dicir que

\displaystyle |f(x) -p(x)| \leq \frac{M}{8}h^2 = O(h^2).

Esto significa que, cando o número de nodos aumenta, o erro non só non aumenta, se non que dimimúe cuadráticamente, evitándose así un problema coma o do fenómeno de Runge.

A deficiencia que presenta un polinomio de interpolación por rectas é que, en xeral, non é derivable nos nodos de interpolación. Para evitalo, podemos tomar en cada intervalo [x_i,x_{i+1}] un polinomios de grao 3, p_i(x), de xeito que o resultado de tomar a unión dos p_i sexa unha función continua, con derivadas primeira e segunda tamén continuas.O resultado coñecese co nome de spline cúbico.

Pódese ver que, para atopar un spline cúbico, debe resolverse un sistema linear  tridiagonal, o que é doado de facer nun ordenador.

Exercicios de interpolación.

Veremos na entrada seguinte os comandos que Sage ten para calcular polinomios de interpolación.

Advertisements
Esta entrada foi publicada en Cálculo numérico, Interpolación polinomial. Ligazón permanente.

One Response to Interpolación a cachos

  1. Pingback: A limitación do erro na interpolación | fundmat

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair / Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair / Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair / Cambiar )

Google+ photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google+. Sair / Cambiar )

Conectando a %s