Exercicios das clases prácticas

    • Escribe un programa que, dada a dimensión, cree a matriz con 2 en toda a diagonal principal e -1 na superdiagonal e subdiagonal secundarias.
    • Escribe un programa que, dado o erro máximo cometido, calcule esta serie de converxencia lenta:

      \displaystyle \mathrm{ln}\, 2 = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots

    • Escribe unha función que teña como argumento o valor máximo de n e calcule

      \displaystyle \prod^{\infty}_{n=1} \frac{4\,n^2}{4\,n^2-1}.

      Compara o resultado obtido co resultado exacto, \displaystyle \frac{\pi}{2}.

    • A multiplicación rusa consiste en:
      1. Escribir os números A e B que se desexa multiplicar na parte superior de sendas columnas.
      2. Dividir A entre 2, sucesivamente, ignorando o resto, ata chegar á unidade; escribir os resultados na columna A.
      3. Multiplicar B por 2 tantas veces como veces se dividiu A entre 2; escribir os resultados sucesivos na columna B.
      4. Sumar todos os números da columna B que estén ao lado dun número impar da columna A.
      5. O valor obtido é o resultado da multiplicación de A e B.

      Vexamos como exemplo 27×82:

      A B Sumandos
      27 82 82
      13 164 164
      6 328
      3 656 656
      1 1312 1312

      Escribe un código de multiplicación rusa en Sage.

    • Escribe un código Sage que busque os números primos p menores que 50 para os que p-1 sexa múltiplo de tres. Un número x é múltiplo de tres se o resto ao dividilo entre tres, p%3, é cero. Que parellas [p,p-1] nas condicións anteriores atopas?
    • Escribe unha función en Sage que, dada unha matriz de Sage, devolva o seu elemento máximo; faino preferentemente sen usar bucles. Comproba que devolve o valor 1 cando lle pasas unha matriz de Hilbert de orde 7. Observa que a matriz de Hilbert pódese obter tamén en Sage con:
      matrix.hilbert(7,RDF).n(digits=2)
    • Demostra por indución que a suma dos n primeiros impares é n2.
    • Demostra que \displaystyle \mathrm{sen}(2x) = \frac{2\,\mathrm{tan}(x)}{1+\mathrm{tan}^2(x)}.
    • Unha vía férrea de montaña ten zonas dunha inclinación do 36%. Nese punto, os asentos dianteiros do vagón están catro metros por riba dos traseiros. Cal é a lonxitude do vagón?
    • Resolve a inecuación \displaystyle \mathrm{sen}\left(x+\frac{\pi}{2} \right) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} no intervalo (-\pi,\pi].
    • Demostra por indución que a suma dos cadrados dos n primeiros números naturais é igual a \displaystyle\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}.
    • Calcula o límite

      \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}     \frac{e^{-1/h}}{h^p}

      sendo p un enteiro positivo arbitrario.

    • Calcula o límite

      \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0^+}    \frac{ \frac{h}{\log h}-0}{h^2}.

    • Crea unha función lambda que, dados os extremos do intervalo [a,b] e o número de subintervalos n, devolva un array de n+1 puntos igualmente espaciados en [a,b] que definen ditos subintervalos. Pista: a lonxitude dos subintervalos será (b-a)/n.
  • Dada a táboa:
    t 0 0.1 0.4 0.5 0.6 1.0 1.4 1.5 1.6 1.9 2.0
    y 0 0.06 0.17 0.19 0.21 0.26 0.29 0.29 0.30 0.31 0.31
    1. Representa o polinomio de interpolación de Lagrange.
    2. Representa o spline noutro gráfico e comenta as diferencias.
  • Dada a función \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+25x^2}, constrúe o polinomio de interpolación de f para os puntos (-1, 0, 1), mostra a gráfica da función e repetir o proceso para un maior número de puntos igualmente espaciados Entre -1 e 1. Describe o fenómeno que se observa.
  • Calcula a derivada numérica da función x3+x2 en [0,2] usando o a función do exercicio práctico de Sage para a derivación numérica. Calcula o erro cometido para comprobar que as fórmulas utilizadas son de orde 2.
  • Calcula o mínimo local da función f(x) = -x \, \mathrm{sen}(x^2) nos intervalos [-2.5, 1] e [-2.5,2]. Explica o resultado.
  • Calcula o máximo local da función f(x) = x\, \cos(x) no intervalo [0, 5]. Explica o resultado.
  • Calcula o máximo local da función f(x) = 8 \mathrm{e}^{-x}\, \mathrm{sen}(x) -1 no intervalo [0, 7]. Explica o resultado.
  • Calcula o polinomio de Taylor de g(x) = \displaystyle \frac{F_0}{\mathrm{sen}(k \, x)} arredor de x_0=\frac{\pi}{2k} de grao 2.

Exercicios adicionais para a derradeira práctica do 2016

  • Calcula a pendente da hipérbola  x²+2xyy²=1 no puntos onde esta corta o eixo OX.
  • Demostra que a función \displaystyle y = \frac{1}{x}-\tan(x) ten exactamente  unha raíz no intervalo [0, π/2].
  • Calcula as dimensións do triángulo rectángulo de área máxima cando a súa hipotenusa é unha constante dada.
  • Calcula o polinomio de Taylor de grao 2 da raíz cadrada arredor do 1. Escribe o resto entre o polinomio e a función.
Esta entrada foi publicada en Exercicios. Ligazón permanente.

3 Responses to Exercicios das clases prácticas

  1. Alumno di:

    No exercicio no que hai que calcular o mínimo local de -x*sen(x^2) obtense que o único punto crítico nese intervalo é un punto de inflexión (x=0). Neste caso tomamos como mínimos locais os extremos do intervalo? Gracias.

    • franpena di:

      Ese exercicio non deu tempo a facelo en clase, pero está pensado para ser resolto con Sage. Serve de exemplo de que a función de optimización de Sage find_local_minimum só obtén mínimos locais. Se miras a gráfica verás que o mínimo absoluto dáse en x= -2.18. Porén, ao executar:
      f(x) = -x*sin(x^2)
      find_local_minimum(f, -2.5, 1)

      obtense x = 0.9999..., que é un mínimo local. Ao executar:
      find_local_minimum(f, -2.5, 2)
      obtense x = 1.355..., que é outro mínimo local. Se o intentas calcular a man, ao ver onde se anula a derivada, tes que resolver a ecuación \tan(x^2) = -2x^2, que non é doada de resolver sen un algoritmo numérico como os que veredes na materia de Cálculo, no segundo cuatrimestre.

Deixar unha resposta

introduce os teu datos ou preme nunha das iconas:

Logotipo de WordPress.com

Estás a comentar desde a túa conta de WordPress.com. Sair /  Cambiar )

Google photo

Estás a comentar desde a túa conta de Google. Sair /  Cambiar )

Twitter picture

Estás a comentar desde a túa conta de Twitter. Sair /  Cambiar )

Facebook photo

Estás a comentar desde a túa conta de Facebook. Sair /  Cambiar )

Conectando a %s